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<!DOCTYPE html>

<title>Variable propositionnelle</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Variable propositionnelle</span></h1>

</header>

</div>

<p>Une variable est représentée par un symbole qui définit une quantité qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un ensemble de valeurs. En <a href="Logique_math%C3%A9matique" title="Logique mathématique">logique mathématique</a>, une <b>variable propositionnelle</b>  est un symbole qui désigne une proposition dans le <a href="Calcul_propositionnel" class="mw-redirect" title="Calcul propositionnel">calcul propositionnel</a>, c'est une <a href="Variable_(math%C3%A9matiques)" title="Variable (mathématiques)">variable</a> qui peut être remplacée par une proposition vraie ou fausse ou par une formule qui est elle-même composée de variables propositionnelles et donc qui peut prendre parfois la valeur vraie et parfois la valeur faux. Les variables propositionnelles sont les éléments fondamentaux des <a href="Formule_propositionnelle" title="Formule propositionnelle">formules propositionnelles</a>, utilisés en <a href="Logique_propositionnelle" class="mw-redirect" title="Logique propositionnelle">logique propositionnelle</a> et dans des <a href="Logique_d'ordre_sup%C3%A9rieur" title="Logique d'ordre supérieur">logiques d'ordre supérieur</a>.

</p><p>Généralement, les variables propositionnelles sont désignées par des lettres majuscules comme P, Q, ...

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire">Histoire</h2></div>

<p>Tout d'abord, le premier homme à parler de calcul propositionnel est <a href="Aristote" title="Aristote">Aristote</a> en définissant une proposition comme étant quelque chose de vrai ou de faux. Il faudra ensuite attendre le XIXème pour que cette notion soit reprise. Le mathématicien <a href="George_Boole" title="George Boole">Boole</a> reprend la notion aristotélicienne. Mais Hugh Mc Coll est peut-être le premier à prendre conscience de l’importance des notions de proposition, de vrai et de faux, puisqu’il les réunit dans une définition initiale, sans cependant essayer d’éclaircir ces notions. En 1903, <a href="Bertrand_Russell" title="Bertrand Russell">Bertrand Russell</a> reprend la définition de Hugh Mc Coll en étant plus précis. Enfin, <a href="David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a> va faire la différence entre la logique propositionnelle et la logique des prédicats dans un livre didactique de 1928.

</p><p>Pas plus que ses prédécesseurs, <a href="Gottlob_Frege" title="Gottlob Frege">Gottlob Frege</a> n’essaie de définir correctement les notions de proposition et de <a href="Valeur_de_v%C3%A9rit%C3%A9" title="Valeur de vérité">valeur de vérité</a> (tout au moins dans ses premiers écrits). Mais il fait un pas décisif en distinguant nettement entre l’énoncé d’une proposition ("simple combinaison d’idées") et son affirmation ("jugement") : ainsi une proposition énoncée peut être considérée comme vraie ou fausse ; il faut faire quelque chose de plus pour dire si elle est vraie ou fausse.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Usages">Usages</h2></div>

<p>Les formules en logique sont généralement construites de manière récursive à partir de certaines variables propositionnelles, <a href="Connecteurs_logiques" class="mw-redirect" title="Connecteurs logiques">connecteurs logiques</a>, et <a href="Quantificateur_(logique)" class="mw-redirect" title="Quantificateur (logique)">quantificateurs logiques</a>. Les variables propositionnelles sont les formules atomiques de la logique propositionnelle.

</p><p>La structure interne des variables propositionnelles de la forme : Pa, aQb.., contient des lettres de prédicat, souvent notée P, Q.., qui sont associées à des constantes individuelles, a, b…

</p><p>En <a href="Calcul_des_pr%C3%A9dicats" title="Calcul des prédicats">logique du premier ordre</a>, les variables propositionnelles sont considérées comme des prédicats nuls, car il n’y a pas de variables objet, x, y.., attachées aux lettres de prédicat, c’est-à-dire de la forme : Px, xQy..

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2></div>

<ul><li>Dans une logique propositionnelle donnée, nous pourrions définir une formule comme suit :

<ul><li>Chaque variable propositionnelle est une formule.</li>

<li>Étant donné un formule <i>X,</i> la <a href="N%C3%A9gation_logique" title="Négation logique">négation</a> <i>¬X</i> est une formule.</li>

<li>Étant donné deux formules  <i>X</i> et <i>Y</i>, et un <a href="Connecteur_logique" title="Connecteur logique">connecteur binaire</a> <i>b</i> (comme la <a href="Conjonction_logique" title="Conjonction logique">conjonction logique</a> ∧), alors <i>(X b Y)</i> est une formule. (Notez les parenthèses.)</li></ul></li></ul>

<p>De cette façon, toutes les formules de la logique propositionnelle sont construites à partir des variables propositionnelles comme une unité de base. Les variables propositionnelles ne doivent pas être confondus avec les <a href="M%C3%A9tavariable" title="Métavariable">métavariables</a>, qui apparaissent dans les axiomes de <a href="Calcul_propositionnel" class="mw-redirect" title="Calcul propositionnel">calcul propositionnel</a>.

<br>

</p>

<ul><li>Si l'on considère la proposition composée <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land Q)\Rightarrow R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land Q)\Rightarrow R}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f36bd2696c7c0f453b9657bbc897a4bb285ade2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.354ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land Q)\Rightarrow R}" loading="lazy"></span> , les variables propositionnelles sont les lettres P, Q et R.</li></ul>

<p><br>

</p>

<ul><li>Lors de l'utilisation d'une <a href="Table_de_v%C3%A9rit%C3%A9" title="Table de vérité">table de vérité</a>, on utilise des variables propositionnelles.</li></ul>

<p>Par exemple, considérons la table de vérité de l'implication :

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"></span>

</th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"></span>

</th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\Rightarrow Q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27a57c9bc077d0b20e4f5ec006f5342cfbb18fd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.198ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P\Rightarrow Q}" loading="lazy"></span>

</th></tr>

<tr>

<td>V

</td>

<td>V

</td>

<td>V

</td></tr>

<tr>

<td>V

</td>

<td>F

</td>

<td>F

</td></tr>

<tr>

<td>F

</td>

<td>V

</td>

<td>V

</td></tr>

<tr>

<td>F

</td>

<td>F

</td>

<td>V

</td></tr></tbody></table>

<p>Dans cet exemple, les lettres P et Q sont des variables propositionnelles. Les lettres V et F indiquent la vérité de la proposition : V correspond à vrai et F correspond à faux.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

<ul><li><a href="Formule_propositionnelle" title="Formule propositionnelle">Formule propositionnelle</a></li>

<li><a href="Calcul_propositionnel" class="mw-redirect" title="Calcul propositionnel">Calcul propositionnel</a></li>

<li><a href="Variable" class="mw-disambig" title="Variable">Variable</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h2></div>

<ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé <span class="">« <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_variable?oldid=635471524">Propositional variable</a> » <small>(<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_variable?action=history">voir la liste des auteurs</a>)</small></span>.</li>

<li>Smullyan, Raymond M. <i>First-Order Logic</i>. 1968. Dover edition, 1995. Chapitre 1.1: Formulas of Propositional Logic.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liens_externes">Liens externes</h2></div>

</p>

<li><div class="liste-horizontale"><span class="wd_identifiers">Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste</span> : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/propositional-variable"><i>Britannica</i></a></li> </ul></div></li>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de la logique</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2025-03-12" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Variable_propositionnelle&oldid=223827149">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

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